Simdroid 结构有限元分析，受压圆环的线性屈曲
说明
本例本就是作为线性屈曲分析的标准测试算例，用非线性屈曲方法计算出合理的结果，这不能证明其线性屈曲模块的正确性和可靠性。因为采用纯粹的线性屈曲方法同样应该得到参考解，这一点对大部分软件就比较有挑战性了。
此外对非线性屈曲算法比较有挑战的测试可以参考NAFEMS 3DNLG-2：www.simapps.com/v/28693.html
对几何非线性算法比较有挑战性的测试可以参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/103430702
值得一提的是，并非所有商业软件都可以顺利通过这些非线性屈曲/几何非线性的基准测试。
受压圆环的线性屈曲分析
本案例是一个经典的线性屈曲标准测试案例，其中压力荷载刚度对屈曲特征值的结果具有显著的影响，本例中如果不考虑荷载刚度将得到错误的结果，与解析解的偏差可达30%。
例如，某成熟商业软件对于本例的求解就是错误的，其得到的临界载荷因子约为0.068，而本例的解析解为0.0517，并且该错误不能通过加密网格或采用高阶单元而消除。因为该商业软件的线性屈曲模块未考虑压力的荷载刚度，可见该商业软件的线性屈曲分析模块具有比较大的缺陷，一般不适合所有含有压力的模型。
同样的，Simdroid 3.0和Simdroid 3.1版本的求解器也没有考虑荷载刚度的影响，采用其线性屈曲模块计算本案例将得到错误结果。
值得一提的是，该错误在Simdroid 4.0版本中已经得到修正。
软件版本
Simdroid 4.0
测试功能
线性屈曲分析，压力荷载刚度
问题描述
半径2.54m的圆环，矩形截面0.0254m*0.0254m，弹性模量2.068e11Pa，泊松比0.0。外表面均匀受压。采用线性屈曲分析计算圆环的临界荷载。
计算采用一半模型，对称面上施加对称约束，并选择一点约束x方向位移。注意本问题的一个特点是对称结构在对称荷载作用下会产生非对称屈曲模态，采用半模型并施加对称约束会导致一部分非对称模态消失。但这么约束并不影响第一阶失稳模态的结果和临界载荷因子的计算。
外表面施加1 MPa的压力。
单元：
采用单元包括二阶四面体Tet10、二阶六面体Hex20、一阶四边形壳TMQ、一阶三角形壳TMT。其中Tet10单元1283个，Hex20单元100个，TMQ单元100个，TMT单元320个。
分析：
采用线性屈曲分析，计算了5个屈曲模态。
计算结果
第一阶正值的屈曲特征值，乘以对应的压力荷载，即为该问题的临界荷载，为0.0517MPa，其含义是结构在承受等于或者超过临界压力的情况下将发生失稳。如果不考虑荷载刚度，得到的临界荷载将大于真实临界荷载，从工程上来说是偏于危险的，结果不可采用。
Simdroid 4.0计算的屈曲特征值的求解结果如下：
第一阶屈曲模态
第二阶屈曲模态
第三阶屈曲模态
第四阶屈曲模态
第五阶屈曲模态
如果采用某商业软A和某商业软B计算本例，同取1/2模型对称约束的情况下，特征值和模态计算结果与Simdroid是一致的。从而验证了Simdroid 4.0求解器的正确性。
这种会产生荷载刚度的荷载被称为follower force，一般指离心力、压力等荷载，其特点是荷载的大小或方向随结构位移的改变而不断发生变化。例如，离心荷载对虚功的贡献项取二阶变分为：
压力荷载的虚功取二阶变分为：
式中各项含义见参考文献[2]和[3]。通过虚功的二阶变分可以导出荷载刚度。
一般的，如果是线性小变形分析，因为假设了构型不发生变化，总是使用初始构型作为积分域并选用相应的工程应力应变度量，即使不考虑荷载刚度，对结果的影响一般也不大。而考虑几何非线性的大变形分析则必须要考虑荷载刚度，因为构型随位移的变化而发生了改变，而荷载是依赖于构型本身的。
但是对于线性屈曲分析，压力的荷载刚度不能忽略，因为线性屈曲分析求解的方程为：
其中
表示之前的静力分析（如果存在的话）收敛后的切线刚度矩阵，它需要考虑相应的材料刚度、应力刚度以及荷载刚度：
当屈曲分析之前不存在任何静力分析步时，切线刚度只包括材料刚度。
另一个关于荷载刚度的应用是转子动力学中的“旋转软化”效应，我们知道对于稳态转动的结构，除了材料本身的刚度，还需要考虑因为离心力导致的变形而产生的应力刚度，一般称为“应力刚化”，因为应力会导致结构刚度的增加。但是高速旋转的物体，同时应该考虑离心荷载导致的刚度降低，此效应被称为“旋转软化”。
参考文献
[1] Boresi, A. P., “A Refinement of the Theory of Buckling of Rings Under Uniform Pressure,” Journal of Applied Mechanics, vol. 77, pp. 99–102, 1955.
[2] Hibbitt, H. D., “Some Follower Forces and Load Stiffness,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 14, pp. 937–941, 1979.
[3] Dhondt, and Guido. The Finite Element Method for Three-Dimensional Thermomechanical Applications (Dhondt/Three-Dimensional Thermomechanical Applications) || Hyperelastic Materials. John Wiley & Sons, Ltd, 2004.
[4] 某商业软件 6.14 Benchmarks Guide.
Simdroid 是由北京云道智造科技有限公司开发的基于“仿真平台+仿真APP”模式的通用多物理场仿真平台。该平台具备自主可控的结构、电磁、流体和热四大物理场求解器和多物理场仿真内核，在统一友好的环境中为仿真工作者提供了前处理、求解分析和后处理工具，同时其内置的APP开发器支持用户以无代码化开发的方式便捷封装全参数化仿真模型及仿真流程，将仿真知识、专家经验转化为可复用的仿真APP，实现知识变现。仿真APP通过APP商店Simapps 实现在线展示、交易，用户通过云端快速、便捷、低成本使用各类工业APP，真正实现普惠仿真的愿景。Simdroid 已经开展了广泛的商业化推广，在电力、家电、生物医疗、电子信息、航空航天等行业领域得到了工程化应用。现已开放试用，登录注册申请试用：www.simapps.com/user/my.action
