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一、问题描述

几何

网格

分别采用TMQ单元和MITC4单元求解，网格剖分如下图：

材料和截面

弹性模量7.124e+10 Pa，泊松比 0.3，壳厚度0.0006 m。

分析与荷载

壳的 x = 0 m的边固定约束，分为两个分析步：

（1）第一步采用线性屈曲分析，在壳的y = -0.24 m 处的边上施加总力为 Fx = 1 N的荷载，计算5阶屈曲特征值和模态。

（2）第二步采用非线性屈曲分析，在壳的y = -0.24 m 处的边上施加总力为 Fx = 0.01 N的荷载，注意任何线性分析步的荷载均不会向下传递，停止条件为最大荷载乘子LPF大于300，打开几何非线性。注意本例需要限制最大弧长增量以避免卸载时沿原路径返回。非线性屈曲的控制面板如下图：

其中初始缺陷采用了线性屈曲步计算得到的第二个屈曲模态，因为由其结果可知，第一阶屈曲特征值为负数，第二阶才为正值。缺陷值具有长度量纲，意味着采用的初始缺陷最大位移点的位移为1e-4 m。

二、计算结果

（1）分析步1，线性屈曲的屈曲特征值为：

可知线性屈曲求得的屈曲临界荷载约为 1.36 N。

各阶屈曲模态如下图：

（2）分析步2， 非线性屈曲分析，两种单元得到的荷载位移曲线如下图：

可知非线性屈曲求得的临界荷载也为约 1.36 N左右

作为参考，此处贴出某商业软件手册中本例的计算结果：

LPF达到300时的位移云图如下：

三、结果讨论

与上一篇 snap through问题不同，本例展示了另一种典型的屈曲类型，即分叉屈曲，在荷载达到临界值时发生的分叉现象。Simdroid软件的几何非线性壳单元可以用来分析这类问题，需要注意的是，必须引入初始缺陷以触发这种分叉屈曲，软件中提供了将线性屈曲模态、振动模态或线性静力的某个工况的结果作为初始缺陷的方法。

在某商业软件手册中，荷载被考虑成中间节点上的集中力，这与本例的荷载加在边上略有不同，使得某商业软件的线性屈曲和Riks两个分析步得到的极限荷载均为1.2。如果将集中力均匀分散布置到边的整个节点上，则其线性屈曲分析步的第二阶模态结果为1.3654，两个分析步的结果与本例的结果是一致的。

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