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问题描述

几何

对于三维单元，厚度方向拉伸5m。

网格

二维模型分别采用4节点四边形Quad4PEH，8节点四边形Quad8PEH，3节点三角形Tri3PEH，6节点三角形Tri6PEH计算本例。

三维模型分别采用8节点六面体Hex8H，20节点六面体Hex20H，4节点四面体Tet4H，10节点四面体Tet10H。

其中带PE后缀表示平面应变单元，带H后缀表示应力杂交元，即所有测试的单元都包含独立的压力自由度。

材料

线弹性材料，弹性模量 E = 2 Pa，泊松比 v = 0.5。

边界和荷载

左端固定，右端施加面上合力F，合力方向指向y正方向，对于三维单元，F = 5 N，对于二维平面应变单元，F = 1 N。他们的单位面积上的剪切方向的traction是相等的，t = 5 N / (16 m* 5 m) = 1 N / (16 m * 1 m) = 0.0625 N/m^2 。为了实现平面应变条件，所有三维模型的z方向施加位移约束。

分析

通用静力分析，打开几何非线性。

计算结果

Hex8H单元和Tri3PEH单元的变形云图为：

Hex8H单元和Tri3PEH单元的等效应力云图为：

右侧端部顶点的位移和节点最Mises应力为：

下图为三维六面体和二维三角形的网格收敛曲线，横轴为单元数开平方，纵轴为顶点y方向位移。可以看到，当单元数量超过400个后，两种单元的位移解均基本收敛。

讨论

当泊松比超过0.49时（超弹性时相当于D接近0.0），材料接近不可压缩。此时常规的位移元通过本构方程计算得到的压力波动会非常剧烈，同时由于体积模量相比于剪切模量差别过大，单元刚度矩阵的性质也会变差，尤其是一阶单元由于其位移插值缺少高次项而会使得在某些边界条件情况下（如下图）该单元完全无法变形。采用二阶单元或者非协调单元可以改善这种情况，但对于极端接近不可压，例如泊松比超过0.49999的情况，仍然会出现强烈的体积自锁。

本例可以用于验证Simdroid结构求解器计算不可压缩问题的准确性。值得一提的是，某商业软件的一阶三角形平面应变应力杂交元（CPE3H单元）计算本例会出现体积自锁，从而得到的位移解较小，Uy约等于4.7，即使加密网格也无法收敛到正确解。但该商业软件的其他杂交元并没有体积自锁的问题，得到的结果与本文相近（Uy约为8.0）。其三角形单元计算失败的原因为其采用了常数压力插值。实践经验表明，一阶四面体和一阶三角形在进行压力场单独插值时，采用节点压力自由度进行线性插值可以得到比较好的结果，又由于位移自由度的插值阶数应该高于压力自由度，固Simdroid软件的这两种单元包含了泡状位移自由度，积分点数量相应的采用4个和3个积分点。

此处贴出Simdroid软件部分应力杂交元采用的插值的方法：

需要说明的是，Simdroid当前的应力杂交元算法并非是没有问题的，根据参考文献[1]，这些插值方式或者部分无法通过Single-element patch tests或Multiple-element patch test，或者部分存在压力求解震荡的问题，而只有少数高阶单元具备比较强的鲁棒性。此外，除了采用泡状位移的方法，参考文献[1]还描述了其它更加稳定的方法来增强上述插值的鲁棒性。

由于Simdroid的杂交元采用的u-p格式对于线弹性材料无法描述完全不可压材料，求解器会自动将泊松比调整为0.4999999。当材料本构为超弹性时，Simdroid的u-p格式应力杂交元可以计算完全不可压缩问题，即超弹性的D = 0，这一点将在下一篇文章中予以体现。

参考文献

[1] O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals.

Simdroid 是由北京云道智造科技有限公司开发的基于“仿真平台+仿真APP”模式的通用多物理场仿真平台。该平台具备自主可控的结构、电磁、流体和热四大物理场求解器和多物理场仿真内核，在统一友好的环境中为仿真工作者提供了前处理、求解分析和后处理工具，同时其内置的APP开发器支持用户以无代码化开发的方式便捷封装全参数化仿真模型及仿真流程，将仿真知识、专家经验转化为可复用的仿真APP，实现知识变现。仿真APP通过APP商店Simapps 实现在线展示、交易，用户通过云端快速、便捷、低成本使用各类工业APP，真正实现普惠仿真的愿景。Simdroid 已经开展了广泛的商业化推广，在电力、家电、生物医疗、电子信息、航空航天等行业领域得到了工程化应用。现已开放试用，登录注册申请试用：www.simapps.com/user/my.action