Simdroid 有限元标准测试，一阶单元塑性的不可压缩性

2021-12-12 581

Simdroid V3.5 改进了二维平面应变一阶单元的算法，使其可以通过本测试，与参考解的误差约3%。Simdroid V3.0 的该单元将得到错误的结果，与解析解的误差超过16%。

需要指出的是，采用某商业软件的二维平面应变一阶单元（线性插值）将同样获得错误的结果，误差超过16%。

DOUBLE-NOTCHED TENSILE SPECIMEN

问题描述

几何：

w=10 m， L=30 m， b=1 m，二维平面应变模型，只建立1/4模型。

网格：

采用一阶四边形平面应变单元 Quad4PE；

当前最新的Simdroid 3.5版本支持非均匀种子布置的边控制，网格如下：

材料：

弹性性质弹性模量 206.9 Pa，泊松比 0.29，理想Mises塑性，屈服压力 0.45 Pa，无硬化。

边界条件：

考虑1/4对称模型，AE边 Uy = 0，AD边 Ux = 0。

荷载：

CD边施加y正方向的位移 Uy = 0.17 m。

结果对比

参考解

定义边AE上的净轴向应力为：

$\sigma_{\rm net}=\frac{2R_y}{b} \\$

式中

$R_y$ 为边AE上的支座反力合力在y方向上的绝对值，则根据参考文献[1]，该模型的Prandtl极限载荷为：

$\sigma_{\rm net}=\frac{2+\pi}{\sqrt{3}}\sigma_{y}=2.97\sigma_y\\$

Simdroid V3.0和V3.5计算得到的极限荷载为：

	单元	Prandtl极限	误差
Analytical	NA	2.97	NA
Simdroid 3.0	一阶四边形	3.46	16.5%
Simdroid 3.5	一阶四边形	3.06	3.03%
某商业软件	一阶四边形	3.48	17.17%
某商业软件	二阶四边形	3.06	3.03%

等效的荷载位移曲线如下：

结果云图

收敛时的等效应力云图：

收敛时刻的等效塑性应变云图：

讨论

本例是一个经典的一阶单元理想塑性模型的标准测试算例，由于塑性变形的不可压缩性，常规方法构造的一阶单元往往在高塑性情况时会发生严重的体积自锁，采用二阶单元可以避免这个问题。

Simdroid V3.5 的一阶四边形修复了这一问题。对比荷载位移曲线图可知，改进后的一阶四边形单元可以反映出Prandtl 极限，即曲线的后半段保持为直线，结构承载力不再随位移的增加而增加，而错误的单元其承载力会持续变大，无法反映这一极限。需要注意的是，某商业软件如果采用一阶单元计算本例也会得到相同的错误结果，原因是其一阶单元算法未作任何修正。

参考文献

[1] W.Prager, P.G. Hodge, Jr., Theory of perfectly plastic solids(Dover, New York, 1968).

Simdroid 是由北京云道智造科技有限公司开发的基于“仿真平台+仿真APP”模式的通用多物理场仿真平台。该平台具备自主可控的结构、电磁、流体和热四大物理场求解器和多物理场仿真内核，在统一友好的环境中为仿真工作者提供了前处理、求解分析和后处理工具，同时其内置的APP开发器支持用户以无代码化开发的方式便捷封装全参数化仿真模型及仿真流程，将仿真知识、专家经验转化为可复用的仿真APP，实现知识变现。仿真APP通过APP商店Simapps 实现在线展示、交易，用户通过云端快速、便捷、低成本使用各类工业APP，真正实现普惠仿真的愿景。Simdroid 已经开展了广泛的商业化推广，在电力、家电、生物医疗、电子信息、航空航天等行业领域得到了工程化应用。现已开放试用，登录注册申请试用：www.simapps.com/user/my.action

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